精选！论向量除法存在的可能性
一：定义证明（加黑体字母为向量）
有数量积可知：a∙b=|a||b|cosθ，有推理出
(相关资料图)
数量商可知a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>，不难发现两个公式均不符合乘法/除法的运算性质。【一个因数扩大（缩小）n倍，另一个因数不变，积也相应的扩大（缩小）n倍（n不等于0）。】
除法同理。但是注意了这里讲的是“数”，并不是“向量”，这是因为向量是一个既有大小也有方向的矢量。所以部分人得出的结论（向量不存在除法）的一个原因如下：
证明：（部分人认为的）
因为有6/3=2，除了6之外无法找到其他的数字能够符合等式。但是：
a∙b=|a||b|cosθ：(如图）
在直线L上的任意的a均满足a∙b=|a||b|cosθ，左边的向量a一直在改变，但是右边的数却一直没有改变，如果将b除过去那么得到a=|a||b|cosθ/b，
a拥有无数个值与之对应。所以不存在向量的除法。
其实这本身就是错误，向量是不可以直接相除的，在上一篇文章中已经说明过，这里再次给出证明：
证明：
不妨已知a∙b=a∙c，如图所示
如果直接将a直接约掉，那么可以得到b=c，如图所示明显的：b≠c，所以直接以它得出向量没有除法是不靠谱的并且是错误的，而且显然向量不可以直接相除的，原因在哪里呢，其实前面说过了向量是一个既有大小也有方向的矢量。是不是有点抽象？不用着急，三里面还会再次阐明。
二：对于逆运算的解析
很多人对于数量积来推出数量商有很大的疑问，接下来我们来说一说对于数量积和数量商的关系做出解析，说明如下：（其实上一篇文章也提到过）
有数量积可知：a∙b=|a||b|cosθ，同除以|b|²（注意：这里是同时除以一个数）。有特殊：|b|²=b²=b∙b（必修二P19),可化简为a∙b/|b|²=a∙b/b∙b，可化简为:a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>。这里说明一个点：同一个除法中可以同时在“/”上下除以一个相同的向量，证明如下：
易得a/a=1，b/b=1（两个相同向量相除），有非
零向量a,b。常数x,y。则有以下性质:
x/y=xa/ya
=x|a|/y|a|
=x|a|²/y|a|²
=x(a+b)/y(a+b)
=x(a+b)²/y(a+b)²
如图所示：
所以，同一个除法中可以同时在“/”上下除以一个相同的向量 。
三：实例分析（上一篇文章提到过）
有a∙b=|a||b|cosθ，设a=（1，0），|a||b|cosθ=1，可以得到b有多解，b₁=（1，√3/3），b₂=(1,√3),原因如图:
由倒数向量可知b₁=（√3/2，1/2），b₂=(1/2,√3/2),
直观的，因为a=（1，0），b₁=（1，√3/3）。则a向量y方向上的“0”将b向量y方向上的任意数值全部归为“0”，所以才有了b=|a||b|cosθ/a中，b拥有无数个值与之对应,也就是说a∙b=|a||b|cosθ中的a是不允许直接“移动”，并相除的，因为直接相除没有另一个使得a向量y方向上的值归为“0”的数，我们就再次印证了不能够随意除以向量。
四：理论说明
理论说明：因为“普通的乘除法”仅仅只是两个数的运算，求出的数值一定。但是向量的乘除法是一个“不普通的乘除法”，有着不局限于普通法则束缚枷锁的思维运算，也就是说，向量不仅仅有大小，同时它还拥有方向。本身具有两个变量的它，使得它的运算变得与众不同。举个例子：你想知道你的钢笔为什么写不出来了，那么这个探究就拥有多个变量：①是否没墨了，②钢笔的储存墨水的“地方”是不是漏了，等等。你在只知道钢笔写不出来时能够直接说是什么原因吗（严格的讲），其实是不能的。向量同理拥有两个变量的它，我们在运算探究的时候也是不能够直接去看的，它本身就是一个特殊的运算工具，出现和其普通结论相悖的结论是正常的一件事情，但我们不去定义或者没有发现我们就能说它不存在吗，显然也是不行的，所以向量的除法应该是可以有的，也就是说，它是存在的。
后记：
前面所有的论述全为个人理解，没有权威的解释，如有不对的地方请各位读者批评指正，谢谢。
2023/5/1
